Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + {(t x)}^{3} + 3 x (t x)$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + {(t x)}^{3} + 3 x (t x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = t x$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t x$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t x$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Étape 2.2

Comme $t$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $t x$ par rapport à $x$ est $t \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} (t \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} (t \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Étape 2.4

Multipliez $t$ par $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x (t x)]$ .

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Étape 3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t (x^{1} x))]$

Étape 3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t (x^{1} x^{1}))]$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t x^{1 + 1})]$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t x^{2})]$

Étape 3.5

Comme $3 t$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 t x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 t \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 3 t \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 3 t (2 x)$

Étape 3.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 6 t x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $t x$ .

$3 x^{2} + 3 (t^{2} x^{2}) t + 6 t x$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$3 x^{2} + 3 (t^{1} t^{2}) x^{2} + 6 t x$

Étape 4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{2} + 3 t^{1 + 2} x^{2} + 6 t x$

Étape 4.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 x^{2} + 3 t^{3} x^{2} + 6 t x$