Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + y^{3} + \frac{3}{x y}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + y^{3} + \frac{3}{x y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$

Étape 1.3

Comme $y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$ .

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Étape 2.1

Comme $\frac{3}{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x y}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{y} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{3}{y} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{3}{y} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{3}{y} (- x^{- 2})$

Étape 2.4

Associez $\frac{3}{y}$ et $x^{- 2}$ .

$3 x^{2} + 0 - \frac{3 x^{- 2}}{y}$

Étape 2.5

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} + 0 - \frac{3}{y x^{2}}$

Étape 3

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{y x^{2}}$