Calcul infinitésimal Exemples

$x^{- 7 \cos (x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{- 7 \cos (x)}$ comme $e^{\ln (x^{- 7 \cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{- 7 \cos (x)})}]$

Étape 1.2

Développez $\ln (x^{- 7 \cos (x)})$ en déplaçant $- 7 \cos (x)$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{- 7 \cos (x) \ln (x)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 7 \cos (x) \ln (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 7 \cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 \cos (x) \ln (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 \cos (x) \ln (x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 7 \cos (x) \ln (x)$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 7 \cos (x) \ln (x)]$

Étape 3

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 \cos (x) \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Étape 5

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Étape 6

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{x}$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Étape 7

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x))))$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 \frac{\cos (x)}{x} - 7 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 \frac{\cos (x)}{x}) + e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Étape 8.3

Associez des termes.

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Étape 8.3.1

Associez $- 7$ et $\frac{\cos (x)}{x}$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} \frac{- 7 \cos (x)}{x} + e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Étape 8.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- \frac{7 \cos (x)}{x}) + e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Étape 8.3.3

Associez $e^{- 7 \cos (x) \ln (x)}$ et $\frac{7 \cos (x)}{x}$ .

$- \frac{e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (7 \cos (x))}{x} + e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Étape 8.3.4

Déplacez $7$ à gauche de $e^{- 7 \cos (x) \ln (x)}$ .

$- \frac{7 \cdot e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Étape 8.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$- \frac{7 e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (7 \ln (x)) \sin (x)$

Étape 8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$7 e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) - \frac{7 e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$