Calcul infinitésimal Exemples

x^{\sec (x)}

$x^{\sec (x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 1.1

Réécrivez

x^{\sec (x)}

$x^{\sec (x)}$ comme

e^{\ln (x^{\sec (x)})}

$e^{\ln (x^{\sec (x)})}$ .

\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sec (x)})}]

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sec (x)})}]$

Étape 1.2

Développez

\ln (x^{\sec (x)})

$\ln (x^{\sec (x)})$ en déplaçant

\sec (x)

$\sec (x)$ hors du logarithme.

\frac{d}{d x} [e^{\sec (x) \ln (x)}]

$\frac{d}{d x} [e^{\sec (x) \ln (x)}]$

\frac{d}{d x} [e^{\sec (x) \ln (x)}]

$\frac{d}{d x} [e^{\sec (x) \ln (x)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ où

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ et

g (x) = \sec (x) \ln (x)

$g (x) = \sec (x) \ln (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

u

$u$ comme

\sec (x) \ln (x)

$\sec (x) \ln (x)$ .

\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (x)]

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est

a^{u} \ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ où

a

$a$ =

e

$e$ .

e^{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (x)]

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

\sec (x) \ln (x)

$\sec (x) \ln (x)$ .

e^{\sec (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (x)]

$e^{\sec (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (x)]$

e^{\sec (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (x)]

$e^{\sec (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (x)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où

f (x) = \sec (x)

$f (x) = \sec (x)$ et

g (x) = \ln (x)

$g (x) = \ln (x)$ .

e^{\sec (x) \ln (x)} (\sec (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])

$e^{\sec (x) \ln (x)} (\sec (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 4

La dérivée de

\ln (x)

$\ln (x)$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

e^{\sec (x) \ln (x)} (\sec (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])

$e^{\sec (x) \ln (x)} (\sec (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 5

Associez

\sec (x)

$\sec (x)$ et

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

e^{\sec (x) \ln (x)} (\frac{\sec (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])

$e^{\sec (x) \ln (x)} (\frac{\sec (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 6

La dérivée de

\sec (x)

$\sec (x)$ par rapport à

x

$x$ est

\sec (x) \tan (x)

$\sec (x) \tan (x)$ .

e^{\sec (x) \ln (x)} (\frac{\sec (x)}{x} + \ln (x) (\sec (x) \tan (x)))

$e^{\sec (x) \ln (x)} (\frac{\sec (x)}{x} + \ln (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

e^{\sec (x) \ln (x)} \frac{\sec (x)}{x} + e^{\sec (x) \ln (x)} (\ln (x) (\sec (x) \tan (x)))

$e^{\sec (x) \ln (x)} \frac{\sec (x)}{x} + e^{\sec (x) \ln (x)} (\ln (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Étape 7.2

Associez

e^{\sec (x) \ln (x)}

$e^{\sec (x) \ln (x)}$ et

\frac{\sec (x)}{x}

$\frac{\sec (x)}{x}$ .

\frac{e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x)}{x} + e^{\sec (x) \ln (x)} \ln (x) \sec (x) \tan (x)

$\frac{e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x)}{x} + e^{\sec (x) \ln (x)} \ln (x) \sec (x) \tan (x)$

Étape 7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (x) + \frac{e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x)}{x}

$e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (x) + \frac{e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x)}{x}$

e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (x) + \frac{e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x)}{x}

$e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (x) + \frac{e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x)}{x}$