Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}] + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 3$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{3} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 3$ .

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{3} (\frac{{(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 7.3

Placez ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (\frac{1}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 7.4

Associez $\frac{1}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x^{3}$ .

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 10

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 11

Associez les fractions.

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Étape 11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 x) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 11.2

Associez $2$ et $\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} x + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 11.3

Associez $\frac{2 x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$\frac{2 x^{3} x}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{3})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 14

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 x^{2})$

Étape 16

Déplacez $3$ à gauche de ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + 3 \cdot {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{2}$

Étape 17

Associez $\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ et $3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{2}$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 17.1

Déplacez ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 17.2

Pour écrire $3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 17.3

Associez $3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 17.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 19

Multipliez ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.1

Déplacez ${(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} ({(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 19.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 19.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{3}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 19.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{1}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 20

Simplifiez $9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{1}$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} (x^{2} + 3)}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21

Simplifiez

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Étape 21.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} x^{2} + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 21.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 21.2.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 21.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 (x^{2} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2 + 2} + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{4} + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.2.1.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{4} + 27 x^{2}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.2.2

Additionnez $2 x^{4}$ et $9 x^{4}$ .

$\frac{11 x^{4} + 27 x^{2}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $11 x^{4} + 27 x^{2}$ .

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Étape 21.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $11 x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (11 x^{2}) + 27 x^{2}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.3.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $27 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (11 x^{2}) + x^{2} \cdot 27}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.3.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (11 x^{2}) + x^{2} \cdot 27$ .

$\frac{x^{2} (11 x^{2} + 27)}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$