Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \ln (x) - 3 x e^{x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} \ln (x) - 3 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Étape 2.4

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Étape 2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Étape 2.5.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Étape 2.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Étape 2.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Étape 2.5.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$x + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x + \ln (x) (2 x) - 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Étape 3.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x} + e^{x})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x}) - 3 e^{x}$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x + \ln (x) (2 x) - 3 x e^{x} - 3 e^{x}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x \ln (x) - 3 e^{x} x + x - 3 e^{x}$

Étape 4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 x \ln (x) - 3 e^{x} x + x - 3 e^{x}$ .

$2 x \ln (x) - 3 x e^{x} + x - 3 e^{x}$