Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \arctan (e^{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \arctan (e^{x})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (e^{x})] + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = e^{x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $e^{x}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3

Associez les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + e^{x \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{1 + e^{2 x}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x^{2}}{1 + e^{2 x}} e^{x} + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Associez $\frac{x^{2}}{1 + e^{2 x}}$ et $e^{x}$ .

$\frac{x^{2} e^{x}}{1 + e^{2 x}} + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} e^{x}}{1 + e^{2 x}} + \arctan (e^{x}) (2 x)$

Étape 6

Pour écrire $\arctan (e^{x}) (2 x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x}}{1 + e^{2 x}} + \frac{\arctan (e^{x}) (2 x) (1 + e^{2 x})}{1 + e^{2 x}}$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} e^{x} + \arctan (e^{x}) (2 x) (1 + e^{2 x})}{1 + e^{2 x}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} e^{x} + \arctan (e^{x}) (2 x) \cdot 1 + \arctan (e^{x}) (2 x) e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

Étape 8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x \cdot 1 + \arctan (e^{x}) (2 x) e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x + \arctan (e^{x}) (2 x) e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

Étape 8.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x + 2 \arctan (e^{x}) x e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

Étape 8.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x + 2 \arctan (e^{x}) x e^{2 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 x \arctan (e^{x}) + 2 x e^{2 x} \arctan (e^{x})}{1 + e^{2 x}}$

Étape 8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x^{2} + 2 x \arctan (e^{x}) + 2 e^{2 x} x \arctan (e^{x})}{1 + e^{2 x}}$