Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y^{3 - x^{3} + y + 2}$

Étape 1

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{- x^{3} + y + 5}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{- x^{3} + y + 5}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{- x^{3} + y + 5}] + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = y$ et $g = - x^{3} + y + 5$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [y] ((- x^{3} + y + 5) y^{- x^{3} + y + 5 - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Soustrayez $1$ de $5$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [y] ((- x^{3} + y + 5) y^{- x^{3} + y + 4}) + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} (0 ((- x^{3} + y + 5) y^{- x^{3} + y + 4}) + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- x^{3} + y + 5$ par $0$ .

$x^{2} (0 y^{- x^{3} + y + 4} + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3.2

Multipliez $0$ par $y^{- x^{3} + y + 4}$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{3} + y + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x^{2} ((\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]) (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{2} ((- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{2} ((- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x^{2} ((- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.8

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} ((- 3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.9

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} ((- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.10

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} ((- 3 x^{2} + 0) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.11

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} (- 3 x^{2} y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} (- 3 y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 2} (- 3 y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} (- 3 y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{4} (- 3 y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} (2 x)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 y^{- x^{3} + y + 5} x^{4} \ln (y) + 2 y^{- x^{3} + y + 5} x$

Étape 7.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 3 y^{- x^{3} + y + 5} x^{4} \ln (y) + 2 y^{- x^{3} + y + 5} x$ .

$- 3 x^{4} y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y) + 2 x y^{- x^{3} + y + 5}$