Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \sqrt{6 x - 9}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 x - 9}$ comme ${(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}] + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 6 x - 9$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x - 9$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x - 9$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(6 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{{(6 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 8.3

Placez ${(6 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x - 9] + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 10

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 12

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 13

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 14

Simplifiez les termes.

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Étape 14.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6 + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 14.2

Associez $\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $6$ .

$\frac{x^{2} \cdot 6}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 14.3

Déplacez $6$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{6 \cdot x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 14.4

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2})}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 15

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2})}{2 ({(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}})} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x^{2})}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{2}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3 x^{2}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Étape 17

Déplacez $2$ à gauche de ${(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} x$

Étape 18

Associez $\frac{3 x^{2}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} x$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 18.1

Déplacez ${(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 18.2

Pour écrire $2 x {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{2} + 2 x {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19

Multipliez ${(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.1

Déplacez ${(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x ({(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2} + 2 x {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{2} + 2 x {(6 x - 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x {(6 x - 9)}^{\frac{2}{2}}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x {(6 x - 9)}^{1}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20

Simplifiez $2 x {(6 x - 9)}^{1}$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x (6 x - 9)}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21

Simplifiez

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Étape 21.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 2 x (6 x) + 2 x \cdot - 9}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 21.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 21.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x^{2} + 2 \cdot 6 x \cdot x + 2 x \cdot - 9}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 21.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 \cdot 6 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 9}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 \cdot 6 x^{2} + 2 x \cdot - 9}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.2.1.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{3 x^{2} + 12 x^{2} + 2 x \cdot - 9}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.2.1.4

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$\frac{3 x^{2} + 12 x^{2} - 18 x}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.2.2

Additionnez $3 x^{2}$ et $12 x^{2}$ .

$\frac{15 x^{2} - 18 x}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.3

Factorisez $3 x$ à partir de $15 x^{2} - 18 x$ .

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Étape 21.3.1

Factorisez $3 x$ à partir de $15 x^{2}$ .

$\frac{3 x (5 x) - 18 x}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.3.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 18 x$ .

$\frac{3 x (5 x) + 3 x (- 6)}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.3.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (5 x) + 3 x (- 6)$ .

$\frac{3 x (5 x - 6)}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$