Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} (2 x - 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 2 x - 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$x^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$x^{2} \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{2} + (2 x - 1) (2 x)$

Étape 2.8

Déplacez $2$ à gauche de $2 x - 1$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot (2 x - 1) x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + (2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x^{2} + 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x$

Étape 3.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{2} + 4 (x^{1} x) + 2 \cdot - 1 x$

Étape 3.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{2} + 4 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 1 x$

Étape 3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2} + 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x$

Étape 3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x$

Étape 3.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x^{2} + 4 x^{2} - 2 x$

Étape 3.3.7

Additionnez $2 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$6 x^{2} - 2 x$