Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (x^{3}) \sqrt[5]{2 - x}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{2 - x}$ comme ${(2 - x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} {(2 - x)}^{\frac{1}{5}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = {(2 - x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{\frac{1}{5}}] + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ et $g (x) = 2 - x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 - x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{5}$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - x$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 7.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{5}$ et ${(2 - x)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$x^{3} (\frac{{(2 - x)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 8.3

Placez ${(2 - x)}^{- \frac{4}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (\frac{1}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}}$ et $x^{3}$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [2 - x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (- 1 \cdot 1) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 14

Associez les fractions.

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Étape 14.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \cdot - 1 + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 14.2

Associez $\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}}$ et $- 1$ .

$\frac{x^{3} \cdot - 1}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 14.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.3.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 14.3.2

Réécrivez $- 1 x^{3}$ comme $- x^{3}$ .

$\frac{- x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 14.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} (3 x^{2})$

Étape 16

Remettez dans l’ordre.

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Étape 16.1

Déplacez $3$ à gauche de ${(2 - x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$- \frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + 3 \cdot {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} x^{2}$

Étape 16.2

Déplacez ${(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

$- \frac{x^{3}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}} + 3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$

Étape 17

Pour écrire $3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$- \frac{x^{3}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}} + 3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 18

Associez $3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ et $\frac{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$- \frac{x^{3}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} (5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}})}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} (5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}})}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 20

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 21

Multipliez ${(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ par ${(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 21.1

Déplacez ${(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} ({(- x + 2)}^{\frac{4}{5}} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}})}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 21.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{4}{5} + \frac{1}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 21.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{4 + 1}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 21.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{5}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 21.5

Divisez $5$ par $5$ .

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{1}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 22

Simplifiez $15 x^{2} {(- x + 2)}^{1}$ .

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} (- x + 2)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 23

Simplifiez

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Étape 23.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} (- x) + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 23.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 23.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 x^{2} x + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 23.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 23.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 23.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 23.2.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 23.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 x^{1 + 2} + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 23.2.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 23.2.1.3

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{3} - 15 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 23.2.1.4

Multipliez $2$ par $15$ .

$\frac{- x^{3} - 15 x^{3} + 30 x^{2}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 23.2.2

Soustrayez $15 x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$\frac{- 16 x^{3} + 30 x^{2}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 23.3

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $- 16 x^{3} + 30 x^{2}$ .

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Étape 23.3.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $- 16 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} (- 8 x) + 30 x^{2}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 23.3.2

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $30 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} (- 8 x) + 2 x^{2} (15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 23.3.3

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{2} (- 8 x) + 2 x^{2} (15)$ .

$\frac{2 x^{2} (- 8 x + 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 23.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{2 x^{2} (- (8 x) + 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 23.5

Réécrivez $15$ comme $- 1 (- 15)$ .

$\frac{2 x^{2} (- (8 x) - 1 (- 15))}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 23.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (8 x) - 1 (- 15)$ .

$\frac{2 x^{2} (- (8 x - 15))}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 23.7

Réécrivez $- (8 x - 15)$ comme $- 1 (8 x - 15)$ .

$\frac{2 x^{2} (- 1 (8 x - 15))}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 23.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2 x^{2}) (8 x - 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 23.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(2 x^{2}) (8 x - 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$- \frac{2 x^{2} (8 x - 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$