Calcul infinitésimal Exemples

$f (u) = \sqrt{u} (5 - u^{6})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}} (5 - u^{6})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ est $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ où $f (u) = u^{\frac{1}{2}}$ et $g (u) = 5 - u^{6}$ .

$u^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [5 - u^{6}] + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - u^{6}$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [- u^{6}]$ .

$u^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [- u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Comme $5$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $5$ par rapport à $u$ est $0$ .

$u^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d u} [- u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d u} [- u^{6}]$ .

$u^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [- u^{6}] + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $- u^{6}$ par rapport à $u$ est $- \frac{d}{d u} [u^{6}]$ .

$u^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d u} [u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$u^{\frac{1}{2}} (- (6 u^{5})) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.6

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$u^{\frac{1}{2}} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4

Multipliez $u^{\frac{1}{2}}$ par $u^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $u^{5}$ .

$u^{5} u^{\frac{1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u^{5 + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.3

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$u^{5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.4

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$u^{\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u^{\frac{5 \cdot 2 + 1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$u^{\frac{10 + 1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.6.2

Additionnez $10$ et $1$ .

$u^{\frac{11}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5

Déplacez $- 6$ à gauche de $u^{\frac{11}{2}}$ .

$- 6 \cdot u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}})$

Étape 12

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) \frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 13

Placez $u^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.2

Associez des termes.

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Étape 14.2.1

Associez $5$ et $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.2.2

Associez $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ et $u^{6}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.2.3

Placez $u^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6} u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 14.2.4

Multipliez $u^{6}$ par $u^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.2.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6 - \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 14.2.4.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 14.2.4.3

Associez $6$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 14.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{6 \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

Étape 14.2.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.2.4.5.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{12 - 1}{2}}}{2}$

Étape 14.2.4.5.2

Soustrayez $1$ de $12$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2}$

Étape 14.2.5

Pour écrire $- 6 u^{\frac{11}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.2.6

Associez $- 6 u^{\frac{11}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot 2 - u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.2.8

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$\frac{- 12 u^{\frac{11}{2}} - u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.2.9

Soustrayez $u^{\frac{11}{2}}$ de $- 12 u^{\frac{11}{2}}$ .

$\frac{- 13 u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{13 u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{13 u^{\frac{11}{2}}}{2}$