Calcul infinitésimal Exemples

$f (u) = \frac{6}{\sqrt{u}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\frac{6}{u^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Comme $6$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $\frac{6}{u^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $u$ est $6 \frac{d}{d u} [\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}]$ .

$6 \frac{d}{d u} [\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d u} [{(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$6 \frac{d}{d u} [u^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 \frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1})$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 (- \frac{1}{2} u^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 (- \frac{1}{2} u^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$6 (- \frac{1}{2} u^{\frac{- 3}{2}})$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{3}{2}})$

Étape 10

Associez $u^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{u^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 11

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 \frac{u^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 12

Associez $- 6$ et $\frac{u^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 6 u^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 13

Placez $u^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{2 u^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 u^{\frac{3}{2}}}$

Étape 15

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.1

Factorisez $2$ à partir de $2 u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (u^{\frac{3}{2}})}$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 u^{\frac{3}{2}}}$

Étape 15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{u^{\frac{3}{2}}}$

Étape 16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{u^{\frac{3}{2}}}$