Calcul infinitésimal Exemples

$f (s) = (s^{6} + 1) e^{- s^{6}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d s} [f (s) g (s)]$ est $f (s) \frac{d}{d s} [g (s)] + g (s) \frac{d}{d s} [f (s)]$ où $f (s) = s^{6} + 1$ et $g (s) = e^{- s^{6}}$ .

$(s^{6} + 1) \frac{d}{d s} [e^{- s^{6}}] + e^{- s^{6}} \frac{d}{d s} [s^{6} + 1]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ est $f' (g (s)) g' (s)$ où $f (s) = e^{s}$ et $g (s) = - s^{6}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- s^{6}$ .

$(s^{6} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d s} [- s^{6}]) + e^{- s^{6}} \frac{d}{d s} [s^{6} + 1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(s^{6} + 1) (e^{u} \frac{d}{d s} [- s^{6}]) + e^{- s^{6}} \frac{d}{d s} [s^{6} + 1]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- s^{6}$ .

$(s^{6} + 1) (e^{- s^{6}} \frac{d}{d s} [- s^{6}]) + e^{- s^{6}} \frac{d}{d s} [s^{6} + 1]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $- s^{6}$ par rapport à $s$ est $- \frac{d}{d s} [s^{6}]$ .

$(s^{6} + 1) e^{- s^{6}} (- \frac{d}{d s} [s^{6}]) + e^{- s^{6}} \frac{d}{d s} [s^{6} + 1]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$(s^{6} + 1) e^{- s^{6}} (- (6 s^{5})) + e^{- s^{6}} \frac{d}{d s} [s^{6} + 1]$

Étape 3.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$(s^{6} + 1) e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} \frac{d}{d s} [s^{6} + 1]$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $s^{6} + 1$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [s^{6}] + \frac{d}{d s} [1]$ .

$(s^{6} + 1) e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (\frac{d}{d s} [s^{6}] + \frac{d}{d s} [1])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$(s^{6} + 1) e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (6 s^{5} + \frac{d}{d s} [1])$

Étape 3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $1$ par rapport à $s$ est $0$ .

$(s^{6} + 1) e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (6 s^{5} + 0)$

Étape 3.7

Additionnez $6 s^{5}$ et $0$ .

$(s^{6} + 1) e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (6 s^{5})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(s^{6} e^{- s^{6}} + 1 e^{- s^{6}}) (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (6 s^{5})$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$s^{6} e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + 1 e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (6 s^{5})$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s^{5 + 6} e^{- s^{6}} \cdot - 6 + 1 e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (6 s^{5})$

Étape 4.3.2

Additionnez $5$ et $6$ .

$s^{11} e^{- s^{6}} \cdot - 6 + 1 e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (6 s^{5})$

Étape 4.3.3

Déplacez $- 6$ à gauche de $s^{11} e^{- s^{6}}$ .

$- 6 \cdot (s^{11} e^{- s^{6}}) + 1 e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (6 s^{5})$

Étape 4.3.4

Multipliez $e^{- s^{6}}$ par $1$ .

$- 6 s^{11} e^{- s^{6}} + e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (6 s^{5})$

Étape 4.3.5

Déplacez $e^{- s^{6}}$ .

$- 6 s^{11} e^{- s^{6}} - 6 s^{5} e^{- s^{6}} + 6 s^{5} e^{- s^{6}}$

Étape 4.3.6

Additionnez $- 6 s^{5} e^{- s^{6}}$ et $6 s^{5} e^{- s^{6}}$ .

$- 6 s^{11} e^{- s^{6}} + 0$

Étape 4.3.7

Additionnez $- 6 s^{11} e^{- s^{6}}$ et $0$ .

$- 6 s^{11} e^{- s^{6}}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $- 6 s^{11} e^{- s^{6}}$ .

$- 6 e^{- s^{6}} s^{11}$

Étape 4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 6 e^{- s^{6}} s^{11}$ .

$- 6 s^{11} e^{- s^{6}}$