Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = e^{2 t} \ln (t + 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = e^{2 t}$ et $g (t) = \ln (t + 1)$ .

$e^{2 t} \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)] + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = t + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $t + 1$ .

$e^{2 t} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [t + 1]) + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{2 t} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [t + 1]) + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $t + 1$ .

$e^{2 t} (\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1]) + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{t + 1}$ et $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1] + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Étape 3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} (1 + 0) + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} \cdot 1 + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Étape 3.5.2

Multipliez $\frac{e^{2 t}}{t + 1}$ par $1$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 2 t$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 t$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 t$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (e^{2 t} (2 \cdot 1))$

Étape 5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (e^{2 t} \cdot 2)$

Étape 5.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (2 \cdot e^{2 t})$

Étape 6

Pour écrire $\ln (t + 1) (2 e^{2 t})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \frac{\ln (t + 1) (2 e^{2 t}) (t + 1)}{t + 1}$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{2 t} + \ln (t + 1) (2 e^{2 t}) (t + 1)}{t + 1}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{e^{2 t} + 2 \ln (t + 1) e^{2 t} (t + 1)}{t + 1}$

Étape 8.1.1.2

Simplifiez $2 \ln (t + 1)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{e^{2 t} + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t} (t + 1)}{t + 1}$

Étape 8.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{2 t} + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t} t + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t} \cdot 1}{t + 1}$

Étape 8.1.1.4

Multipliez $\ln ({(t + 1)}^{2})$ par $1$ .

$\frac{e^{2 t} + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t} t + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t}}{t + 1}$

Étape 8.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 t} + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t} t + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} + t e^{2 t} \ln ({(t + 1)}^{2}) + e^{2 t} \ln ({(t + 1)}^{2})}{t + 1}$

Étape 8.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{2 t} t \ln ({(t + 1)}^{2}) + e^{2 t} \ln ({(t + 1)}^{2}) + e^{2 t}}{t + 1}$