Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = \frac{8 t}{8 + \sqrt{t}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{8 t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{8 t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $t$ est $8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}]$ .

$8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t$ et $g (t) = 8 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{(8 + t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [8 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \frac{(8 + t^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [8 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $8 + t^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [8 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 + t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $8$ par rapport à $t$ est $0$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 10

Associez $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $t$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 11

Multipliez $t^{- \frac{1}{2}}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1

Multipliez $t^{- \frac{1}{2}}$ par $t$ .

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Étape 11.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{1}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 11.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + 1}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 11.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 11.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 11.4

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 12

Pour écrire $t^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13

Associez $t^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$8 \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 15

Déplacez $2$ à gauche de $t^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{8 + \frac{2 \cdot t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 16

Soustrayez $t^{\frac{1}{2}}$ de $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 17

Multipliez $\frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ par $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{2}{2} \cdot \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 18

Associez.

$8 \frac{2 (8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 19

Appliquez la propriété distributive.

$8 \frac{2 \cdot 8 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 20

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.1

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{2 \cdot 8 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 20.2

Réécrivez l’expression.

$8 \frac{2 \cdot 8 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 21

Multipliez $2$ par $8$ .

$8 \frac{16 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 22

Associez $8$ et $\frac{16 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{8 (16 + t^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 23

Factorisez $2$ à partir de $8 (16 + t^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (4 (16 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 24

Annulez les facteurs communs.

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Étape 24.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{2 (4 (16 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 24.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 (16 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 24.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (16 + t^{\frac{1}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 25

Simplifiez

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Étape 25.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cdot 16 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 25.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$\frac{64 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 25.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} + 64}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$

Étape 25.4

Factorisez $4$ à partir de $4 t^{\frac{1}{2}} + 64$ .

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Étape 25.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 (t^{\frac{1}{2}}) + 64}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$

Étape 25.4.2

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 16}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$

Étape 25.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 t^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 16$ .

$\frac{4 (t^{\frac{1}{2}} + 16)}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$