Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = \frac{5}{t^{3}} - \frac{4}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{5}{t^{3}} - \frac{4}{t^{2}} + \frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{3}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{5}{t^{3}}$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{t^{3}}$ comme ${(t^{3})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = t^{3}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $t^{3}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $t^{3}$ .

$5 (- {(t^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 2.5

Multipliez les exposants dans ${(t^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- t^{3 \cdot - 2} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 2.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$5 (- t^{- 6} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 2.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$5 (- 3 t^{- 6} t^{2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 2.7

Multipliez $t^{- 6}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.1

Déplacez $t^{2}$ .

$5 (- 3 (t^{2} t^{- 6})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 (- 3 t^{2 - 6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 2.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$5 (- 3 t^{- 4}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 2.8

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$- 15 t^{- 4} + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{4}{t^{2}}$ par rapport à $t$ est $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{t^{2}}$ comme ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = t^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $t^{2}$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $t^{2}$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- t^{- 4} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 t^{- 4} t) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 3.7

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 (t^{1} t^{- 4})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 t^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 t^{- 3}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 3.10

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$- 15 t^{- 4} + 8 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $\frac{1}{t}$ comme $t^{- 1}$ .

$- 15 t^{- 4} + 8 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 15 t^{- 4} + 8 t^{- 3} - t^{- 2}$

Étape 5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{t^{4}} + 8 t^{- 3} - t^{- 2}$

Étape 6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - t^{- 2}$

Étape 7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez des termes.

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Étape 8.1.1

Associez $- 15$ et $\frac{1}{t^{4}}$ .

$\frac{- 15}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

Étape 8.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{15}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

Étape 8.1.3

Associez $8$ et $\frac{1}{t^{3}}$ .

$- \frac{15}{t^{4}} + \frac{8}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

Étape 8.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{8}{t^{3}} - \frac{15}{t^{4}}$