Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = \frac{25000}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Comme $25000$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{25000}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}$ par rapport à $t$ est $25000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}]$ .

$25000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}$ comme ${(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 1}$ .

$25000 \frac{d}{d t} [{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = 1 + 11 e^{- 0.54 t}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 + 11 e^{- 0.54 t}$ .

$25000 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$25000 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + 11 e^{- 0.54 t}$ .

$25000 (- {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $25000$ .

$- 25000 ({(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 11 e^{- 0.54 t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}]$ .

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}])$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}])$

Étape 3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}]$ .

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}]$

Étape 3.5

Comme $11$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $11 e^{- 0.54 t}$ par rapport à $t$ est $11 \frac{d}{d t} [e^{- 0.54 t}]$ .

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (11 \frac{d}{d t} [e^{- 0.54 t}])$

Étape 3.6

Multipliez $11$ par $- 25000$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 0.54 t}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - 0.54 t$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 0.54 t$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 0.54 t])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 0.54 t])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 0.54 t$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} \frac{d}{d t} [- 0.54 t])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $- 0.54$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 0.54 t$ par rapport à $t$ est $- 0.54 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} (- 0.54 \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 5.2

Multipliez $- 0.54$ par $- 275000$ .

$148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} \cdot 1)$

Étape 5.4

Multipliez $e^{- 0.54 t}$ par $1$ .

$148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} e^{- 0.54 t}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réorganisez les facteurs de $148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} e^{- 0.54 t}$ .

$148500 e^{- 0.54 t} {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$148500 e^{- 0.54 t} \frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$

Étape 6.3

Multipliez $148500 e^{- 0.54 t} \frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$ .

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Étape 6.3.1

Associez $\frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$ et $148500$ .

$\frac{148500}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}} e^{- 0.54 t}$

Étape 6.3.2

Associez $\frac{148500}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$ et $e^{- 0.54 t}$ .

$\frac{148500 e^{- 0.54 t}}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$