Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = \tan (e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\tan (e^{3 t})] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (e^{3 t})] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\tan (e^{3 t})]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \tan (t)$ et $g (t) = e^{3 t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $e^{3 t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $e^{3 t}$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 3 t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 t$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 t$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Étape 2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (e^{3 t} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Étape 2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (e^{3 t} \cdot 3) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Étape 2.6

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 t}$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = \tan (3 t)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\tan (3 t)$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + \frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [\tan (3 t)]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [\tan (3 t)]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\tan (3 t)$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} \frac{d}{d t} [\tan (3 t)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \tan (t)$ et $g (t) = 3 t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $3 t$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d t} [3 t])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\tan (u_{4})$ par rapport à $u_{4}$ est $\sec^{2} (u_{4})$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d t} [3 t])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $3 t$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (\sec^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [3 t])$

Étape 3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (\sec^{2} (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (\sec^{2} (3 t) (3 \cdot 1))$

Étape 3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (\sec^{2} (3 t) \cdot 3)$

Étape 3.6

Déplacez $3$ à gauche de $\sec^{2} (3 t)$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (3 \cdot \sec^{2} (3 t))$

Étape 3.7

Déplacez $3$ à gauche de $e^{\tan (3 t)}$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + 3 e^{\tan (3 t)} \sec^{2} (3 t)$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 e^{3 t} \sec^{2} (e^{3 t}) + 3 e^{\tan (3 t)} \sec^{2} (3 t)$