Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{2 θ} \sin (3 θ) d θ$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $e^{2 θ}$ et $\sin (3 θ)$ .

$\int \sin (3 θ) e^{2 θ} d θ$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sin (3 θ)$ et $d v = e^{2 θ}$ .

$\sin (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (3 \cos (3 θ)) d θ$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2} \cdot 3$ est constant par rapport à $θ$ , placez $\frac{1}{2} \cdot 3$ en dehors de l’intégrale.

$\sin (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 θ}$ .

$\sin (3 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

Étape 4.2

Associez $\sin (3 θ)$ et $\frac{e^{2 θ}}{2}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

Étape 4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $e^{2 θ}$ et $\cos (3 θ)$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} \int \cos (3 θ) e^{2 θ} d θ)$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \cos (3 θ)$ et $d v = e^{2 θ}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\cos (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (- 3 \sin (3 θ)) d θ))$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2} \cdot - 3$ est constant par rapport à $θ$ , placez $\frac{1}{2} \cdot - 3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\cos (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot - 3 \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 θ}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\cos (3 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 3 \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

Étape 7.2

Associez $\cos (3 θ)$ et $\frac{e^{2 θ}}{2}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 3 \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

Étape 7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 3$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

Étape 7.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3}{2} (- (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ))$

Étape 7.5

Multipliez $\frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2}$ par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} (- (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ))$

Étape 7.6

Multipliez.

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Étape 7.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} - \frac{3}{2} (- (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ))$

Étape 7.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + 1 (\frac{3}{2}) (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)$

Étape 7.6.3

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{3}{2} (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)$

Étape 7.7

Multipliez $\frac{- 3}{2}$ par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ$

Étape 7.8

Multipliez.

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Étape 7.8.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{- 9}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ$

Étape 7.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{- 9}{4} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ$

Étape 8

En résolvant $\int e^{2 θ} \sin (3 θ) d θ$ , nous trouvons que $\int e^{2 θ} \sin (3 θ) d θ$ = $\frac{\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4}}{\frac{13}{4}}$ .

$\frac{\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4}}{\frac{13}{4}} + C$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 θ) e^{2 θ}$ .

$\frac{\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3 \cdot (\cos (3 θ) e^{2 θ})}{4}}{\frac{13}{4}} + C$

Étape 9.1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{13}{4}$ .

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3 \cos (3 θ) e^{2 θ}}{4}) \frac{4}{13} + C$

Étape 9.2

Réécrivez $(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3 \cos (3 θ) e^{2 θ}}{4}) \frac{4}{13} + C$ comme $(\frac{1}{2} \sin (3 θ) e^{2 θ} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$ .

$(\frac{1}{2} \sin (3 θ) e^{2 θ} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (3 θ)$ .

$(\frac{\sin (3 θ)}{2} e^{2 θ} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

Étape 9.3.2

Associez $\frac{\sin (3 θ)}{2}$ et $e^{2 θ}$ .

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

Étape 9.3.3

Associez $\cos (3 θ)$ et $\frac{3}{4}$ .

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) \cdot 3}{4} e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

Étape 9.3.4

Associez $e^{2 θ}$ et $\frac{\cos (3 θ) \cdot 3}{4}$ .

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{e^{2 θ} (\cos (3 θ) \cdot 3)}{4}) \frac{4}{13} + C$

Étape 9.3.5

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 θ)$ .

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{e^{2 θ} (3 \cos (3 θ))}{4}) \frac{4}{13} + C$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2}$ .

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} (3 \cos (3 θ))}{4}) \frac{4}{13} + C$

Étape 9.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.2.1

Réécrivez.

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} (\cos (3 θ) \cdot 3)}{4}) \frac{4}{13} + C$

Étape 9.4.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 θ)$ .

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} (3 \cdot \cos (3 θ))}{4}) \frac{4}{13} + C$

Étape 9.4.2.3

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} \cdot 3 \cos (3 θ)}{4}) \frac{4}{13} + C$

Étape 9.4.3

Déplacez $3$ à gauche de $e^{2 θ}$ .

$(\frac{1}{2} e^{2 θ} \sin (3 θ) - \frac{3}{4} e^{2 θ} \cos (3 θ)) \frac{4}{13} + C$