Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(\frac{1}{2} x)}^{5}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = \frac{1}{2} x$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{2} x$ .

$5 {(\frac{1}{2} x)}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$5 {(\frac{x}{2})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$5 {(\frac{x}{2})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(\frac{x}{2})}^{4} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $5$ .

$\frac{5}{2} {(\frac{x}{2})}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5}{2} {(\frac{x}{2})}^{4} \cdot 1$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $1$ .

$\frac{5}{2} {(\frac{x}{2})}^{4}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{x^{4}}{2^{4}}$

Étape 3.2

Associez des termes.

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Étape 3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{x^{4}}{16}$

Étape 3.2.2

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{x^{4}}{16}$ .

$\frac{5 x^{4}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{5 x^{4}}{32}$