Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (3 x - 2) (4 x^{2} + 3)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 3 x - 2$ et $g (x) = 4 x^{2} + 3$ .

$(3 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3] + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(3 x - 2) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$(3 x - 2) (8 x + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Étape 2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(3 x - 2) (8 x + 0) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$(3 x - 2) (8 x) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Étape 2.6.2

Déplacez $8$ à gauche de $3 x - 2$ .

$8 \cdot (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 2.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 2.10

Multipliez $3$ par $1$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 2.11

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 + 0)$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) \cdot 3$

Étape 2.12.2

Déplacez $3$ à gauche de $4 x^{2} + 3$ .

$8 (3 x - 2) x + 3 \cdot (4 x^{2} + 3)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(8 (3 x) + 8 \cdot - 2) x + 3 (4 x^{2} + 3)$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 (3 x) x + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2} + 3)$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 (3 x) x + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Étape 3.4

Associez des termes.

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Étape 3.4.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$24 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Étape 3.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$24 (x^{1} x) + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Étape 3.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$24 (x^{1} x^{1}) + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Étape 3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 x^{1 + 1} + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Étape 3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$24 x^{2} + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Étape 3.4.6

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$24 x^{2} - 16 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Étape 3.4.7

Multipliez $4$ par $3$ .

$24 x^{2} - 16 x + 12 x^{2} + 3 \cdot 3$

Étape 3.4.8

Multipliez $3$ par $3$ .

$24 x^{2} - 16 x + 12 x^{2} + 9$

Étape 3.4.9

Additionnez $24 x^{2}$ et $12 x^{2}$ .

$36 x^{2} - 16 x + 9$