Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (4 x^{2} - 3 x + 3) \cdot (4 x^{2} + 6 x - 11)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 3$ et $g (x) = 4 x^{2} + 6 x - 11$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 x - 11] + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 6 x - 11$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Étape 2.5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Étape 2.7

Multipliez $6$ par $1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Étape 2.8

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 + 0) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Étape 2.9

Additionnez $8 x + 6$ et $0$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Étape 2.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - 3 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.11

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.13

Multipliez $2$ par $4$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.14

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.16

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.17

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 + 0)$

Étape 2.18

Additionnez $8 x - 3$ et $0$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Factorisez $1$ à partir de $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $1$ à partir de $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)$ .

$1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.1.2

Factorisez $1$ à partir de $(4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ .

$1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)) + 1 ((4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3))$

Étape 3.1.3

Factorisez $1$ à partir de $1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)) + 1 ((4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3))$ .

$1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3))$

Étape 3.2

Multipliez $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ par $1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Développez $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.2.1

Déplacez $x$ .

$4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.3.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.3.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.3.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $4$ par $8$ .

$32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $6$ par $4$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.3.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 \cdot 8 x \cdot x - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.3.2.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.6.1

Déplacez $x$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 \cdot 8 (x \cdot x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.3.2.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 \cdot 8 x^{2} - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.3.2.7

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.3.2.8

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.3.2.9

Multipliez $8$ par $3$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 24 x + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.3.2.10

Multipliez $3$ par $6$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 24 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.3.3

Associez les termes opposés dans $32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 24 x + 18$ .

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Étape 3.3.3.1

Soustrayez $24 x^{2}$ de $24 x^{2}$ .

$32 x^{3} + 0 - 18 x + 24 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.3.3.2

Additionnez $32 x^{3}$ et $0$ .

$32 x^{3} - 18 x + 24 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.3.4

Additionnez $- 18 x$ et $24 x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Étape 3.3.5

Développez $(4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Étape 3.3.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Étape 3.3.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.6.2.1

Déplacez $x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Étape 3.3.6.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.3.6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Étape 3.3.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Étape 3.3.6.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Étape 3.3.6.3

Multipliez $4$ par $8$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Étape 3.3.6.4

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Étape 3.3.6.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 \cdot 8 x \cdot x + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Étape 3.3.6.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.6.6.1

Déplacez $x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 \cdot 8 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Étape 3.3.6.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 \cdot 8 x^{2} + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Étape 3.3.6.7

Multipliez $6$ par $8$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Étape 3.3.6.8

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} - 18 x - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Étape 3.3.6.9

Multipliez $8$ par $- 11$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} - 18 x - 88 x - 11 \cdot - 3$

Étape 3.3.6.10

Multipliez $- 11$ par $- 3$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} - 18 x - 88 x + 33$

Étape 3.3.7

Additionnez $- 12 x^{2}$ et $48 x^{2}$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} + 36 x^{2} - 18 x - 88 x + 33$

Étape 3.3.8

Soustrayez $88 x$ de $- 18 x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} + 36 x^{2} - 106 x + 33$

Étape 3.4

Additionnez $32 x^{3}$ et $32 x^{3}$ .

$64 x^{3} + 6 x + 18 + 36 x^{2} - 106 x + 33$

Étape 3.5

Soustrayez $106 x$ de $6 x$ .

$64 x^{3} - 100 x + 18 + 36 x^{2} + 33$

Étape 3.6

Additionnez $18$ et $33$ .

$64 x^{3} - 100 x + 36 x^{2} + 51$