Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \csc^{4} (2 x^{2} + 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \csc (2 x^{2} + 1)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (2 x^{2} + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (2 x^{2} + 1)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (2 x^{2} + 1)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (2 x^{2} + 1)$ .

$4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\csc (2 x^{2} + 1)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 2 x^{2} + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x^{2} + 1$ .

$4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Étape 2.2

La dérivée de $\csc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x^{2} + 1$ .

$4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) (- \csc (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Étape 3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) (\csc (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Étape 4

Élevez $\csc (2 x^{2} + 1)$ à la puissance $1$ .

$- 4 (\csc^{1} (2 x^{2} + 1) \csc^{3} (2 x^{2} + 1)) (\cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 {\csc (2 x^{2} + 1)}^{1 + 3} (\cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Étape 6

Additionnez $1$ et $3$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) (\cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 10

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (4 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (4 x + 0)$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.1

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (4 x)$

Étape 12.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$- 16 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) x$

Étape 12.3

Réorganisez les facteurs de $- 16 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) x$ .

$- 16 x \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1)$