Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{\infty} (- 144) {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique infinie peut être déterminée en utilisant la formule $\frac{a}{1 - r}$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{n}$ et $a_{n + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{- 144 {(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{- 144 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 144$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{- 144 {(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{- 144 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}$ et ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ à partir de ${(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez ${(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}$ par $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Étape 2.2.3

Additionnez $n$ et $0$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{n - (n - 1)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(\frac{1}{2})}^{n - n - - 1}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{n - n + 1}$

Étape 2.2.5

Soustrayez $n$ de $n$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{0 + 1}$

Étape 2.2.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{1}$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$r = \frac{1}{2}$

Étape 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Étape 4

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 4.1

Remplacez $n$ par $1$ dans $(- 144) {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

$a = - 144 {(\frac{1}{2})}^{1 - 1}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = - 144 {(\frac{1}{2})}^{0}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$a = - 144 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Étape 4.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = - 144 \frac{1}{2^{0}}$

Étape 4.2.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = - 144 (\frac{1}{1})$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$a = - 144 (\frac{1}{1})$

Étape 4.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$a = - 144 \cdot 1$

Étape 4.2.6

Multipliez $- 144$ par $1$ .

$a = - 144$

Étape 5

Remplacez les valeurs du rapport et du premier terme dans la formule de l’addition.

$\frac{- 144}{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- 144}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 6.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 144}{\frac{2 - 1}{2}}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{- 144}{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- 144 \cdot 2$

Étape 6.3

Multipliez $- 144$ par $2$ .

$- 288$