Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = 9 - x^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 - x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 6

Associez les fractions.

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 6.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 6.3

Placez ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 8

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- (2 x))$

Étape 12

Associez les fractions.

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Étape 12.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- 2 x)$

Étape 12.2

Associez $- 2$ et $\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} x$

Étape 12.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 4}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} x$

Étape 12.4

Associez $\frac{- 4}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ et $x$ .

$\frac{- 4 x}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 12.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 x}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$