Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4 x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} \tan (x)$ et $g (x) = \sec (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \tan (x)] - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Étape 4

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 7

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Étape 8

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Étape 9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Étape 10

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Étape 11

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

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Étape 11.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) + \sec (x) (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 11.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) + \sec (x) (- x^{2} \tan^{2} (x))$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec^{2} (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Étape 12.3

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x)}{\sec (x)}$

Étape 13

Associez $4$ et $\frac{x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x)}{\sec (x)}$ .

$\frac{4 (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (x^{2} \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) (2 x)) + 4 (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Étape 14.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 (x^{2} \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) (2 x)) + 4 (- x^{2} \tan^{2} (x))$ .

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Étape 14.2.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 (x^{2} \sec^{2} (x))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) (2 x)) + 4 (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Étape 14.2.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $4 (\tan (x) (2 x))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x)) + 4 x (\tan (x) \cdot (2)) + 4 (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Étape 14.2.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 (- x^{2} \tan^{2} (x))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x)) + 4 x (\tan (x) \cdot (2)) + 4 x (- x \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Étape 14.2.1.4

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x \sec^{2} (x)) + 4 x (\tan (x) \cdot (2))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2)) + 4 x (- x \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Étape 14.2.1.5

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2)) + 4 x (- x \tan^{2} (x))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2) - x \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Étape 14.2.2

Déplacez $- x \tan^{2} (x)$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x) - x \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Étape 14.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \sec^{2} (x)$ .

$\frac{4 x (x (\sec^{2} (x)) - x \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Étape 14.2.4

Factorisez $x$ à partir de $- x \tan^{2} (x)$ .

$\frac{4 x (x (\sec^{2} (x)) + x (- 1 \tan^{2} (x)) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Étape 14.2.5

Factorisez $x$ à partir de $x (\sec^{2} (x)) + x (- 1 \tan^{2} (x))$ .

$\frac{4 x (x (\sec^{2} (x) - 1 \tan^{2} (x)) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Étape 14.2.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{4 x (x \cdot 1 + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Étape 14.2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.7.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{4 x (x + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Étape 14.2.7.2

Déplacez $2$ à gauche de $\tan (x)$ .

$\frac{4 x (x + 2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Étape 14.2.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Étape 14.2.9

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.2.9.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Étape 14.2.9.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Étape 14.2.10

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 8 x \tan (x)}{\sec (x)}$

Étape 14.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{2} + 8 x \tan (x)$ .

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Étape 14.3.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x) + 8 x \tan (x)}{\sec (x)}$

Étape 14.3.2

Factorisez $4 x$ à partir de $8 x \tan (x)$ .

$\frac{4 x (x) + 4 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Étape 14.3.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x) + 4 x (2 \tan (x))$ .

$\frac{4 x (x + 2 \tan (x))}{\sec (x)}$