Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 3}^{10} 9 - 2 k$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $k$ égale à $1$ .

$\sum_{k = 3}^{10} 9 - 2 k = \sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 k - \sum_{k = 1}^{2} 9 - 2 k$

Étape 2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 k$ .

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Étape 2.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 k = \sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 \sum_{k = 1}^{10} k$

Étape 2.2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{10} 9$ .

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Étape 2.2.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 2.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(9) (10)$

Étape 2.2.3

Multipliez $9$ par $10$ .

$90$

Étape 2.3

Évaluez $2 \sum_{k = 1}^{10} k$ .

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Étape 2.3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 2.3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 2) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.3.1.1

Additionnez $10$ et $1$ .

$- 2 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $10$ par $11$ .

$- 2 (\frac{110}{2})$

Étape 2.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{110}{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{110}{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 110$

Étape 2.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $110$ .

$- 110$

Étape 2.4

Additionnez les résultats des additions.

$90 - 110$

Étape 2.5

Soustrayez $110$ de $90$ .

$- 20$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{2} 9 - 2 k$ .

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Étape 3.1

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

$9 - 2 \cdot 1 + 9 - 2 \cdot 2$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$9 - 2 + 9 - 2 \cdot 2$

Étape 3.2.2

Soustrayez $2$ de $9$ .

$7 + 9 - 2 \cdot 2$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$7 + 9 - 4$

Étape 3.2.4

Soustrayez $4$ de $9$ .

$7 + 5$

Étape 3.2.5

Additionnez $7$ et $5$ .

$12$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$- 20 - 12$

Étape 5

Soustrayez $12$ de $- 20$ .

$- 32$