Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(1 + \ln (x))}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 1 + \ln (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \ln (x)$ .

$3 {(1 + \ln (x))}^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 {(1 + \ln (x))}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(1 + \ln (x))}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 {(1 + \ln (x))}^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$3 {(1 + \ln (x))}^{2} \frac{1}{x}$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $3$ .

$\frac{3}{x} {(1 + \ln (x))}^{2}$

Étape 4.2

Associez $\frac{3}{x}$ et ${(1 + \ln (x))}^{2}$ .

$\frac{3 {(1 + \ln (x))}^{2}}{x}$