Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \frac{x - 4}{x + 2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x - 4}{x + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x - 4}{x + 2}$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 4$ et $g (x) = x + 2$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.8

Associez les fractions.

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Étape 3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.8.3

Associez $\frac{x + 2 - (x - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$ et $3$ .

$\frac{(x + 2 - (x - 4)) \cdot 3}{{(x + 2)}^{2}} {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2}$

Étape 3.8.4

Déplacez $3$ à gauche de $x + 2 - (x - 4)$ .

$\frac{3 \cdot (x + 2 - (x - 4))}{{(x + 2)}^{2}} {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x - 4}{x + 2}$ .

$\frac{3 (x + 2 - (x - 4))}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (x + 2 - x - - 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 3 \cdot 2 + 3 (- x) + 3 (- - 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.4

Associez des termes.

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Étape 4.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3 x + 6 + 3 (- x) + 3 (- - 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 x + 6 - 3 x + 3 (- - 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{3 x + 6 - 3 x + 3 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{3 x + 6 - 3 x + 12}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.5

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{0 + 6 + 12}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.6

Additionnez $0$ et $6$ .

$\frac{6 + 12}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.7

Additionnez $6$ et $12$ .

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.8

Multipliez $\frac{18}{{(x + 2)}^{2}}$ par $\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{18 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.9

Multipliez ${(x + 2)}^{2}$ par ${(x + 2)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.9.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{18 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2 + 2}}$

Étape 4.4.9.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{18 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{4}}$