Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{{(3 x - 5)}^{3}}{{(2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(3 x - 5)}^{3}$ et $g (x) = {(2 x^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{3}] - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{({(2 x^{2} + 1)}^{4})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${({(2 x^{2} + 1)}^{4})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{3}] - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{4 \cdot 2}}$

Étape 2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{3}] - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 3 x - 5$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x - 5$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [3 x - 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x - 5$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} (3 {(3 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Déplacez $3$ à gauche de ${(2 x^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{3 \cdot {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 5] - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 4.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 4.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 4.6

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (3 + 0) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} \cdot 3 - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 4.7.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 2 x^{2} + 1$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x^{2} + 1$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - {(3 x - 5)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - {(3 x - 5)}^{3} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x^{2} + 1$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - {(3 x - 5)}^{3} (4 {(2 x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 6.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 6.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (4 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 6.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (4 x + 0))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 6.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.7.1

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (4 x))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 6.7.2

Déplacez $4$ à gauche de ${(2 x^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} (4 \cdot {(2 x^{2} + 1)}^{3} x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 6.7.3

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 16 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Factorisez ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2}$ à partir de $9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 16 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} x)$ .

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Étape 7.1.1.1

Factorisez ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2}$ à partir de $9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2} + 1)) - 16 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 7.1.1.2

Factorisez ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2}$ à partir de $- 16 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} x)$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2} + 1)) + {(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 7.1.1.3

Factorisez ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2}$ à partir de ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2} + 1)) + {(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 16 (3 x - 5) x)$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2} + 1) - 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2}) + 9 \cdot 1 - 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 7.1.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 \cdot 1 - 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 7.1.4

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 - 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 7.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 + (- 16 (3 x) - 16 \cdot - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 7.1.6

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 + (- 48 x - 16 \cdot - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 7.1.7

Multipliez $- 16$ par $- 5$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 + (- 48 x + 80) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 7.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 - 48 x \cdot x + 80 x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 7.1.9

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.9.1

Déplacez $x$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 - 48 (x \cdot x) + 80 x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 7.1.9.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 - 48 x^{2} + 80 x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 7.1.10

Soustrayez $48 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 9 + 80 x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 7.1.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à ${(2 x^{2} + 1)}^{3}$ et ${(2 x^{2} + 1)}^{8}$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez ${(2 x^{2} + 1)}^{3}$ à partir de ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9)$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} ({(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Étape 7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Factorisez ${(2 x^{2} + 1)}^{3}$ à partir de ${(2 x^{2} + 1)}^{8}$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} ({(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} ({(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 30 x^{2}$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2}) + 80 x + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Étape 7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $80 x$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2}) - (- 80 x) + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (30 x^{2}) - (- 80 x)$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2} - 80 x) + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Étape 7.6

Réécrivez $9$ comme $- 1 (- 9)$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2} - 80 x) - 1 (- 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Étape 7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (30 x^{2} - 80 x) - 1 (- 9)$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2} - 80 x - 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Étape 7.8

Réécrivez $- (30 x^{2} - 80 x - 9)$ comme $- 1 (30 x^{2} - 80 x - 9)$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- 1 (30 x^{2} - 80 x - 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Étape 7.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{{(3 x - 5)}^{2} (30 x^{2} - 80 x - 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$