Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{10}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(x + 5)}^{7}$ et $g (x) = {(4 x - 1)}^{10}$ .

${(x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{10}] + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{10}$ et $g (x) = 4 x - 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x - 1$ .

${(x + 5)}^{7} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{10}] \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 10$ .

${(x + 5)}^{7} (10 {u_{1}}^{9} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x - 1$ .

${(x + 5)}^{7} (10 {(4 x - 1)}^{9} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Déplacez $10$ à gauche de ${(x + 5)}^{7}$ .

$10 \cdot {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} \frac{d}{d x} [4 x - 1] + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Étape 3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Étape 3.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (4 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (4 + 0) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} \cdot 4 + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Étape 3.7.2

Multipliez $4$ par $10$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = x + 5$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 5$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + {(4 x - 1)}^{10} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + {(4 x - 1)}^{10} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 5$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + {(4 x - 1)}^{10} (7 {(x + 5)}^{6} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Déplacez $7$ à gauche de ${(4 x - 1)}^{10}$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 \cdot {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 5.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} (1 + 0)$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} \cdot 1$

Étape 5.5.2

Multipliez $7$ par $1$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Factorisez ${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9}$ à partir de $40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6}$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez ${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9}$ à partir de $40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9}$ .

${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5)) + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6}$

Étape 6.1.2

Factorisez ${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9}$ à partir de $7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6}$ .

${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5)) + {(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (7 (4 x - 1))$

Étape 6.1.3

Factorisez ${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9}$ à partir de ${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5)) + {(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (7 (4 x - 1))$ .

${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5) + 7 (4 x - 1))$

Étape 6.2

Réorganisez les facteurs de ${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5) + 7 (4 x - 1))$ .

${(4 x - 1)}^{9} {(x + 5)}^{6} (40 (x + 5) + 7 (4 x - 1))$