Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} < 9 x$

Étape 1

Soustrayez $9 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{3} - 9 x < 0$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} - 9 x = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 9 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 9 x = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 9 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 9 = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$x (x^{2} - 9) = 0$

Étape 3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 3.3

Factorisez.

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Étape 3.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 3.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 7

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, - 3, 3$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 6)}^{3} < 9 (- 6)$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 216$ est inférieur au côté droit $- 54$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{3} < 9 (- 2)$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 8$ n’est pas inférieur au côté droit $- 18$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

${(2)}^{3} < 9 (2)$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $8$ est inférieur au côté droit $18$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 10.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

${(6)}^{3} < 9 (6)$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $216$ n’est pas inférieur au côté droit $54$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 0$ Faux

$0 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 0$ Faux

$0 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 3$ ou $0 < x < 3$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 3) \cup (0, 3)$

Étape 13