Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - 54 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 54 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 54 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 54$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 54 x$ par rapport à $x$ est $- 54 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 54 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} - 54 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 54$ par $1$ .

$6 x^{2} - 54$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} - 54$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 54)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 54)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 54)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 54)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 54$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 54$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $12 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$6 x^{2} - 54 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 54 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 54 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 54$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 54 x$ par rapport à $x$ est $- 54 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 54 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} - 54 \cdot 1$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 54$ par $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 54$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} - 54$ .

$6 x^{2} - 54$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} - 54 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{2} - 54 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $54$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x^{2} = 54$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $6 x^{2} = 54$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x^{2} = 54$ par $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{54}{6}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{54}{6}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{54}{6}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $54$ par $6$ .

$x^{2} = 9$

Étape 5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 5.5

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 5.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 5.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 5.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 5.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 3, - 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 (3)$

Étape 9

Multipliez $12$ par $3$ .

$36$

Étape 10

$x = 3$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 3$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 3$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = 2 {(3)}^{3} - 54 \cdot 3$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (3) = 2 \cdot 27 - 54 \cdot 3$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $2$ par $27$ .

$f (3) = 54 - 54 \cdot 3$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 54$ par $3$ .

$f (3) = 54 - 162$

Étape 11.2.2

Soustrayez $162$ de $54$ .

$f (3) = - 108$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 108$ .

$y = - 108$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 (- 3)$

Étape 13

Multipliez $12$ par $- 3$ .

$- 36$

Étape 14

$x = - 3$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 3$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 3$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = 2 {(- 3)}^{3} - 54 \cdot - 3$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f (- 3) = 2 \cdot - 27 - 54 \cdot - 3$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 27$ .

$f (- 3) = - 54 - 54 \cdot - 3$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $- 54$ par $- 3$ .

$f (- 3) = - 54 + 162$

Étape 15.2.2

Additionnez $- 54$ et $162$ .

$f (- 3) = 108$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $108$ .

$y = 108$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x^{3} - 54 x$ .

$(3, - 108)$ est un minimum local

$(- 3, 108)$ est un maximum local

Étape 17