Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to - 6} \frac{t^{2} - 36}{2 t^{2} + 13 t + 6}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{t \to - 6} t^{2} - 36}{lim_{t \to - 6} 2 t^{2} + 13 t + 6}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $- 6$ .

$\frac{lim_{t \to - 6} t^{2} - lim_{t \to - 6} 36}{lim_{t \to - 6} 2 t^{2} + 13 t + 6}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $t^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{t \to - 6} t)}^{2} - lim_{t \to - 6} 36}{lim_{t \to - 6} 2 t^{2} + 13 t + 6}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $36$ qui est constante lorsque $t$ approche de $- 6$ .

$\frac{{(lim_{t \to - 6} t)}^{2} - 1 \cdot 36}{lim_{t \to - 6} 2 t^{2} + 13 t + 6}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $- 6$ pour $t$ .

$\frac{{(- 6)}^{2} - 1 \cdot 36}{lim_{t \to - 6} 2 t^{2} + 13 t + 6}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$\frac{36 - 1 \cdot 36}{lim_{t \to - 6} 2 t^{2} + 13 t + 6}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$\frac{36 - 36}{lim_{t \to - 6} 2 t^{2} + 13 t + 6}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $36$ de $36$ .

$\frac{0}{lim_{t \to - 6} 2 t^{2} + 13 t + 6}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{t \to - 6} 2 t^{2} + lim_{t \to - 6} 13 t + lim_{t \to - 6} 6}$

Étape 1.1.3.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{0}{2 lim_{t \to - 6} t^{2} + lim_{t \to - 6} 13 t + lim_{t \to - 6} 6}$

Étape 1.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $t^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{2 {(lim_{t \to - 6} t)}^{2} + lim_{t \to - 6} 13 t + lim_{t \to - 6} 6}$

Étape 1.1.3.4

Placez le terme $13$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{t \to - 6} t)}^{2} + 13 lim_{t \to - 6} t + lim_{t \to - 6} 6}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $t$ approche de $- 6$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{t \to - 6} t)}^{2} + 13 lim_{t \to - 6} t + 6}$

Étape 1.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $- 6$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 1.1.3.6.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $- 6$ pour $t$ .

$\frac{0}{2 {(- 6)}^{2} + 13 lim_{t \to - 6} t + 6}$

Étape 1.1.3.6.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $- 6$ pour $t$ .

$\frac{0}{2 {(- 6)}^{2} + 13 \cdot - 6 + 6}$

Étape 1.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.7.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 36 + 13 \cdot - 6 + 6}$

Étape 1.1.3.7.1.2

Multipliez $2$ par $36$ .

$\frac{0}{72 + 13 \cdot - 6 + 6}$

Étape 1.1.3.7.1.3

Multipliez $13$ par $- 6$ .

$\frac{0}{72 - 78 + 6}$

Étape 1.1.3.7.2

Soustrayez $78$ de $72$ .

$\frac{0}{- 6 + 6}$

Étape 1.1.3.7.3

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to - 6} \frac{t^{2} - 36}{2 t^{2} + 13 t + 6} = lim_{t \to - 6} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} - 36]}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 13 t + 6]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{t \to - 6} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} - 36]}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 13 t + 6]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} - 36$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 36]$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 36]}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 13 t + 6]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t + \frac{d}{d t} [- 36]}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 13 t + 6]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 36$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 36$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t + 0}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 13 t + 6]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 13 t + 6]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 t^{2} + 13 t + 6$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [13 t] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [13 t] + \frac{d}{d t} [6]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ .

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Étape 1.3.7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t^{2}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [13 t] + \frac{d}{d t} [6]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{2 (2 t) + \frac{d}{d t} [13 t] + \frac{d}{d t} [6]}$

Étape 1.3.7.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{4 t + \frac{d}{d t} [13 t] + \frac{d}{d t} [6]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d t} [13 t]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $13$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $13 t$ par rapport à $t$ est $13 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{4 t + 13 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{4 t + 13 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6]}$

Étape 1.3.8.3

Multipliez $13$ par $1$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{4 t + 13 + \frac{d}{d t} [6]}$

Étape 1.3.9

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $6$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{4 t + 13 + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $4 t + 13$ et $0$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{4 t + 13}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$2 lim_{t \to - 6} \frac{t}{4 t + 13}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $- 6$ .

$2 \frac{lim_{t \to - 6} t}{lim_{t \to - 6} 4 t + 13}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $- 6$ .

$2 \frac{lim_{t \to - 6} t}{lim_{t \to - 6} 4 t + lim_{t \to - 6} 13}$

Étape 2.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$2 \frac{lim_{t \to - 6} t}{4 lim_{t \to - 6} t + lim_{t \to - 6} 13}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $13$ qui est constante lorsque $t$ approche de $- 6$ .

$2 \frac{lim_{t \to - 6} t}{4 lim_{t \to - 6} t + 13}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $- 6$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $- 6$ pour $t$ .

$2 \frac{- 6}{4 lim_{t \to - 6} t + 13}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $- 6$ pour $t$ .

$2 \frac{- 6}{4 \cdot - 6 + 13}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $4$ par $- 6$ .

$2 \frac{- 6}{- 24 + 13}$

Étape 4.1.2

Additionnez $- 24$ et $13$ .

$2 (\frac{- 6}{- 11})$

Étape 4.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$2 (\frac{6}{11})$

Étape 4.3

Multipliez $2 (\frac{6}{11})$ .

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Étape 4.3.1

Associez $2$ et $\frac{6}{11}$ .

$\frac{2 \cdot 6}{11}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{12}{11}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{12}{11}$

Forme décimale :

$1.\overline{09}$