Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{9 + 4 x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 9 + 4 x$ .

$\frac{(9 + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(9 + 4 x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $9 + 4 x$ .

$\frac{2 \cdot (9 + 4 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 + 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [4 x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Étape 2.7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2} \cdot 1}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Étape 2.9

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 9 + 2 (4 x)) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 9 x + 2 (4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{18 x + 2 (4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{18 x + 2 (4 (x \cdot x)) - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{18 x + 2 (4 x^{2}) - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{18 x + 8 x^{2} - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{18 x + 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 x^{2} + 18 x}{{(4 x + 9)}^{2}}$

Étape 3.5

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x^{2} + 18 x$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x (2 x) + 18 x}{{(4 x + 9)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Factorisez $2 x$ à partir de $18 x$ .

$\frac{2 x (2 x) + 2 x (9)}{{(4 x + 9)}^{2}}$

Étape 3.5.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (2 x) + 2 x (9)$ .

$\frac{2 x (2 x + 9)}{{(4 x + 9)}^{2}}$