Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{\log_{9} (x)}{x^{3}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \log_{9} (x)$ et $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Étape 2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3

La dérivée de $\log_{9} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x \ln (9)}$ .

$\frac{x^{3} \frac{1}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{x \ln (9)}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (9)$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x (\ln (9))} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 5

Multipliez $\frac{\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$ par $\frac{\ln (9)}{\ln (9)}$ .

$\frac{\ln (9)}{\ln (9)} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Associez.

$\frac{\ln (9) (\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\ln (9) \frac{x^{2}}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $\ln (9)$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (9) \frac{x^{2}}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

Étape 6.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x) (3 x^{2}))}{\ln (9) x^{6}}$

Étape 8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- 3 \log_{9} (x) x^{2})}{\ln (9) x^{6}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Simplifiez $- 3 \log_{9} (x)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x^{3}) x^{2})}{\ln (9) x^{6}}$

Étape 9.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x^{3}) x^{2})$ .

$\frac{x^{2} - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})}{\ln (9) x^{6}}$

Étape 9.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})}{x^{6} \ln (9)}$

Étape 9.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})}{x^{6} \ln (9)}$

Étape 9.3.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \ln (9) \log_{9} (x^{3}))}{x^{6} \ln (9)}$

Étape 9.3.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \ln (9) \log_{9} (x^{3}))$ .

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) \log_{9} (x^{3}))}{x^{6} \ln (9)}$

Étape 9.4

Développez $\log_{9} (x^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x)))}{x^{6} \ln (9)}$

Étape 9.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.5.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6} \ln (9)$ .

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x)))}{x^{2} (x^{4} \ln (9))}$

Étape 9.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x)))}{x^{2} (x^{4} \ln (9))}$

Étape 9.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x))}{x^{4} \ln (9)}$

Étape 9.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1 - 3 \ln (9) \log_{9} (x)}{x^{4} \ln (9)}$