Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(\sqrt[4]{x^{2} + 1})}^{3}$

Étape 1

Réécrivez ${(\sqrt[4]{x^{2} + 1})}^{3}$ comme $\sqrt[4]{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{{(x^{2} + 1)}^{3}}]$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{4}}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{4}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 7.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 8.2

Associez $\frac{3}{4}$ et ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 8.3

Placez ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 x + 0)$

Étape 12

Simplifiez les termes.

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Étape 12.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 x)$

Étape 12.2

Associez $2$ et $\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} x$

Étape 12.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} x$

Étape 12.4

Associez $\frac{6}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$ et $x$ .

$\frac{6 x}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$

Étape 12.5

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$\frac{2 (3 x)}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$

Étape 13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1

Factorisez $2$ à partir de $4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{2 (3 x)}{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}})}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x)}{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}})}$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$