Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 9 x + 39}{x - 7}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 9 x + 39$ et $g (x) = x - 7$ .

$\frac{(x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9 x + 39] - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9 x + 39$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [39]$ .

$\frac{(x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 2.5

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9 + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $39$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $39$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9 + 0) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 2.7

Additionnez $2 x - 9$ et $0$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) (1 + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 2.10

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) (1 + 0)}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) \cdot 1}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39)}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Développez $(x - 7) (2 x - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x - 9) - 7 (2 x - 9) - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 9 - 7 (2 x - 9) - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 9 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 9 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 9 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 9 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.3

Déplacez $- 9$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 9 \cdot x - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$\frac{2 x^{2} - 9 x - 14 x - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.5

Multipliez $- 7$ par $- 9$ .

$\frac{2 x^{2} - 9 x - 14 x + 63 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2

Soustrayez $14 x$ de $- 9 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 23 x + 63 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 23 x + 63 - x^{2} + 9 x - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $39$ .

$\frac{2 x^{2} - 23 x + 63 - x^{2} + 9 x - 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 23 x + 63 + 9 x - 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Additionnez $- 23 x$ et $9 x$ .

$\frac{x^{2} - 14 x + 63 - 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Soustrayez $39$ de $63$ .

$\frac{x^{2} - 14 x + 24}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 3.3

Factorisez $x^{2} - 14 x + 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $24$ et dont la somme est $- 14$ .

$- 12, - 2$

Étape 3.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 12) (x - 2)}{{(x - 7)}^{2}}$