Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} + 7}{16 - x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 7$ et $g (x) = 16 - x^{2}$ .

$\frac{(16 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7] - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [7]) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (2 x) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $16 - x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.7

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.9

Multipliez.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + 1 (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.2

Multipliez $x^{2} + 7$ par $1$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + (x^{2} + 7) (2 x)}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 7$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + 2 \cdot (x^{2} + 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 16 + 2 (- x^{2})) x + 2 (x^{2} + 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 16 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (x^{2} + 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 16 x + 2 (- x^{2}) x + (2 x^{2} + 2 \cdot 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 16 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1.1

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{32 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{32 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.5.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{32 x + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{32 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{32 x + 2 (- x^{3}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.5.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.1.5

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 14 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.2

Associez les termes opposés dans $32 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 14 x$ .

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Étape 3.5.2.1

Additionnez $- 2 x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$\frac{32 x + 0 + 14 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.2.2

Additionnez $32 x$ et $0$ .

$\frac{32 x + 14 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.3

Additionnez $32 x$ et $14 x$ .

$\frac{46 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{46 x}{{(- x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 3.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.7.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{46 x}{{(- x^{2} + 4^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.2

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $4^{2}$ .

$\frac{46 x}{{(4^{2} - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = x$ .

$\frac{46 x}{{((4 + x) (4 - x))}^{2}}$

Étape 3.7.4

Appliquez la règle de produit à $(4 + x) (4 - x)$ .

$\frac{46 x}{{(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2}}$