Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{\cos (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 1$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\cos (x) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\cos (x) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 2.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) - (x^{2} + 1) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4

Multipliez.

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) + 1 (x^{2} + 1) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.2

Multipliez $x^{2} + 1$ par $1$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) + (x^{2} + 1) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) (2 x) + x^{2} \sin (x) + 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x) + 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x) + \sin (x)$ .

$\frac{2 x \cos (x) + x^{2} \sin (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$