Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} - \frac{4}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} - \frac{4}{\sqrt{x}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{3}$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2} - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3}$ .

$- x^{- 2} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- x^{- 2} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Étape 3.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 3.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 2} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Étape 3.4.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- x^{- 2} - x^{- 6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Étape 3.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Étape 3.6

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - 3 (x^{2} x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Étape 3.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{- 2} - 3 x^{2 - 6} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Étape 3.6.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$ .

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.3

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 4.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Étape 4.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 4.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 4.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 4.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 4.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 4.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 4.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 4.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 4.13

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x^{- 1}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Étape 4.14

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.14.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Étape 4.14.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Étape 4.14.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Étape 4.14.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Étape 4.14.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.14.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Étape 4.14.5.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Étape 4.14.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 4.15

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 4.16

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + 4 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.17

Associez $4$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{4}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.18

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.19.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Étape 4.19.2

Annulez le facteur commun.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.19.3

Réécrivez l’expression.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 3 x^{- 4} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 3 \frac{1}{x^{4}} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 7

Associez des termes.

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Étape 7.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$