Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} - \frac{51}{2} x^{2} + 5 x + 13$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{10}{3} x^{3} - \frac{51}{2} x^{2} + 5 x + 13$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{51}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{51}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}]$ .

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Étape 2.1

Comme $\frac{10}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{10}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{51}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{10}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{51}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 2.3

Associez $3$ et $\frac{10}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 10}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{51}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $10$ .

$\frac{30}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{51}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 2.5

Associez $\frac{30}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{30 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{51}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun à $30$ et $3$ .

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Étape 2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $30 x^{2}$ .

$\frac{3 (10 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{51}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{51}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{51}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{51}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 2.6.2.4

Divisez $10 x^{2}$ par $1$ .

$10 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{51}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{51}{2} x^{2}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- \frac{51}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{51}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{51}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 x^{2} - \frac{51}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$10 x^{2} - \frac{51}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$10 x^{2} - 2 (\frac{51}{2}) x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 3.4

Associez $- 2$ et $\frac{51}{2}$ .

$10 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 51}{2} x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 3.5

Multipliez $- 2$ par $51$ .

$10 x^{2} + \frac{- 102}{2} x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 3.6

Associez $\frac{- 102}{2}$ et $x$ .

$10 x^{2} + \frac{- 102 x}{2} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun à $- 102$ et $2$ .

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Étape 3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 102 x$ .

$10 x^{2} + \frac{2 (- 51 x)}{2} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$10 x^{2} + \frac{2 (- 51 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$10 x^{2} + \frac{2 (- 51 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$10 x^{2} + \frac{- 51 x}{1} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 3.7.2.4

Divisez $- 51 x$ par $1$ .

$10 x^{2} - 51 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x^{2} - 51 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 x^{2} - 51 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 4.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$10 x^{2} - 51 x + 5 + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1

Comme $13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $13$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 x^{2} - 51 x + 5 + 0$

Étape 5.2

Additionnez $10 x^{2} - 51 x + 5$ et $0$ .

$10 x^{2} - 51 x + 5$