Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 + \sin (x)$ et $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Étape 3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Étape 4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Étape 4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Étape 4.5

Multipliez.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) + 1 (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Étape 4.5.2

Multipliez $1 + \sin (x)$ par $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) + (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Étape 5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) + (1 + \sin (x)) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cos (x) - \sin (x) \cos (x) + (1 + \sin (x)) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cos (x) - \sin (x) \cos (x) + 1 \cos (x) + \sin (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Associez les termes opposés dans $1 \cos (x) - \sin (x) \cos (x) + 1 \cos (x) + \sin (x) \cos (x)$ .

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Étape 6.3.1.1

Additionnez $- \sin (x) \cos (x)$ et $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{1 \cos (x) + 0 + 1 \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.3.1.2

Additionnez $1 \cos (x)$ et $0$ .

$\frac{1 \cos (x) + 1 \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos (x) + 1 \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.3.2.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.3.3

Additionnez $\cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$