Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{4 x^{2} + 4}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{4 x^{2} + 4}$ comme ${(4 x^{2} + 4)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 4)}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 4 x^{2} + 4$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x^{2} + 4$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + 0)$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x)$

Étape 3.6.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$- 8 {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 8$ et $\frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

Étape 4.2.3

Associez $x$ et $\frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.4

Déplacez $8$ à gauche de $x$ .

$- \frac{8 x}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4)}^{2}}$

Étape 4.3.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

Étape 4.3.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2}) + 4 (1)$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2} + 1))}^{2}}$

Étape 4.3.2

Appliquez la règle de produit à $4 (x^{2} + 1)$ .

$- \frac{8 x}{4^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{8 x}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $8$ et $16$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$- \frac{8 (x)}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $8$ à partir de $16 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- \frac{8 (x)}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{8 x}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Étape 4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{2}}$