Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x} + x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 4$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x} + x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x}]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3 x + 1] - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (2 (2 x) - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (2 (2 x) - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (2 (2 x) - 3 \cdot 1 + 0) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (2 (2 x) - 3 \cdot 1 + 0) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.9

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x (4 x - 3 \cdot 1 + 0) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.10

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{x (4 x - 3 + 0) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.11

Additionnez $4 x - 3$ et $0$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.9

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (4 x) + x \cdot - 3 - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (4 x) + x \cdot - 3 - (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4

Associez des termes.

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Étape 6.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x) + x \cdot - 3 - (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 3 - (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{1 + 1} + x \cdot - 3 - (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 x^{2} + x \cdot - 3 - (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.5

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 \cdot x - (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} - (- 3 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.7

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 3 x - 1 \cdot 1}{x^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.9

Soustrayez $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 3 x - 1}{x^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.10

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 0 - 1}{x^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.11

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.12

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2}} + \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.13

Pour écrire $\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.14

Pour écrire $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.15

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.4.15.1

Multipliez $\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2}}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(2 x^{2} - 1) \cdot 3}{x^{2} \cdot 3} + \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.15.2

Multipliez $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ par $\frac{x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{(2 x^{2} - 1) \cdot 3}{x^{2} \cdot 3} + \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{5}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.15.3

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{5}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.15.3.1

Déplacez $x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{(2 x^{2} - 1) \cdot 3}{x^{2} \cdot 3} + \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3 (x^{\frac{5}{3}} x^{\frac{1}{3}})} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.15.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(2 x^{2} - 1) \cdot 3}{x^{2} \cdot 3} + \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3 x^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.15.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(2 x^{2} - 1) \cdot 3}{x^{2} \cdot 3} + \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3 x^{\frac{5 + 1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.15.3.4

Additionnez $5$ et $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 1) \cdot 3}{x^{2} \cdot 3} + \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3 x^{\frac{6}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.15.3.5

Divisez $6$ par $3$ .

$\frac{(2 x^{2} - 1) \cdot 3}{x^{2} \cdot 3} + \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.15.4

Réorganisez les facteurs de $x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{(2 x^{2} - 1) \cdot 3}{3 x^{2}} + \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(2 x^{2} - 1) \cdot 3 + 2 x^{\frac{5}{3}}}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.17

Déplacez $3$ à gauche de $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{3 \cdot (2 x^{2} - 1) + 2 x^{\frac{5}{3}}}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 6.4.18

Additionnez $\frac{3 (2 x^{2} - 1) + 2 x^{\frac{5}{3}}}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ et $0$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 1) + 2 x^{\frac{5}{3}}}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 \cdot - 1 + 2 x^{\frac{5}{3}}}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 6.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 \cdot - 1 + 2 x^{\frac{5}{3}}}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 6.5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 + 2 x^{\frac{5}{3}}}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 6.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6 x^{2} + 2 x^{\frac{5}{3}} - 3}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 6.6

Pour écrire $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 x^{\frac{5}{3}} - 3}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 6.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.7.1

Multipliez $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 x^{\frac{5}{3}} - 3}{3 x^{2}} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 6.7.2

Multipliez $x^{\frac{2}{3}}$ par $x^{\frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.2.1

Déplacez $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 x^{\frac{5}{3}} - 3}{3 x^{2}} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3 (x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}})}$

Étape 6.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 x^{2} + 2 x^{\frac{5}{3}} - 3}{3 x^{2}} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3 x^{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}}}$

Étape 6.7.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 x^{2} + 2 x^{\frac{5}{3}} - 3}{3 x^{2}} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3 x^{\frac{4 + 2}{3}}}$

Étape 6.7.2.4

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 x^{\frac{5}{3}} - 3}{3 x^{2}} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3 x^{\frac{6}{3}}}$

Étape 6.7.2.5

Divisez $6$ par $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 x^{\frac{5}{3}} - 3}{3 x^{2}} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3 x^{2}}$

Étape 6.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 x^{2} + 2 x^{\frac{5}{3}} - 3 - x^{\frac{4}{3}}}{3 x^{2}}$

Étape 6.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6 x^{2} + 2 x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{4}{3}} - 3}{3 x^{2}}$