Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{3} - 4 x^{2} + 3}{x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 3$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + 3] - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 4 x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.5

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x + 0) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.7

Additionnez $3 x^{2} - 8 x$ et $0$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3)}{x^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 8 x) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3)}{x^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.3.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Étape 3.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x^{3} - 8 x \cdot x - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 (x \cdot x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Étape 3.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x^{2} - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x^{2} - x^{3} + 4 x^{2} - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x^{2} - x^{3} + 4 x^{2} - 3}{x^{2}}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x^{2} - 3}{x^{2}}$

Étape 3.3.3

Additionnez $- 8 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 3}{x^{2}}$