Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 1} \frac{1 - t}{1 - \sqrt{t}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{t \to 1} 1 - t}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{t \to 1} 1 - lim_{t \to 1} t}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $1$ .

$\frac{1 - lim_{t \to 1} t}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.3.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $1$ pour $t$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 1} 1 - lim_{t \to 1} \sqrt{t}}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $1$ .

$\frac{0}{1 - lim_{t \to 1} \sqrt{t}}$

Étape 1.1.3.1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{t \to 1} t}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $1$ pour $t$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to 1} \frac{1 - t}{1 - \sqrt{t}} = lim_{t \to 1} \frac{\frac{d}{d t} [1 - t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{t \to 1} \frac{\frac{d}{d t} [1 - t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$lim_{t \to 1} \frac{\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Étape 1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d t} [- t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d t} [- t]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{t \to 1} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Étape 1.3.5

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \sqrt{t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]}$

Étape 1.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]$ .

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Étape 1.3.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.8.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.8.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})}$

Étape 1.3.8.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Étape 1.3.8.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Étape 1.3.8.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Étape 1.3.8.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.8.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Étape 1.3.8.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})}$

Étape 1.3.8.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})}$

Étape 1.3.8.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 1.3.8.10

Placez $t^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.3.9

Soustrayez $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{t \to 1} - - (2 t^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.5

Réécrivez $t^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{t}$ .

$lim_{t \to 1} - - (2 \sqrt{t})$

Étape 1.6

Combinez les facteurs.

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Étape 1.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{t \to 1} - (- 2 \sqrt{t})$

Étape 1.6.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$lim_{t \to 1} 2 \sqrt{t}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$2 lim_{t \to 1} \sqrt{t}$

Étape 2.2

Placez la limite sous le radical.

$2 \sqrt{lim_{t \to 1} t}$

Étape 3

Évaluez la limite de $t$ en insérant $1$ pour $t$ .

$2 \sqrt{1}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$