Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = | x^{2} - 4 |$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 1.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (2 x + 0)$

Étape 2.4

Associez les fractions.

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Étape 2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (2 x)$

Étape 2.4.2

Associez $2$ et $\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4)}{| x^{2} - 4 |} x$

Étape 2.4.3

Associez $\frac{2 (x^{2} - 4)}{| x^{2} - 4 |}$ et $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4) x}{| x^{2} - 4 |}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x}{| x^{2} - 4 |}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Étape 3.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Étape 3.3.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x}{| x^{2} - 4 |}$