Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{- 2 x} \ln (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{- 2 x}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Étape 2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Étape 3

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1))$

Étape 5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 2 x} \cdot - 2)$

Étape 5.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (- 2 \cdot e^{- 2 x})$

Étape 5.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 e^{- 2 x} \ln (x) + \frac{e^{- 2 x}}{x}$